Γκαλουά, η θεωρία των εξισώσεων ως θεωρία ομάδων

Όταν ο Γκαλουά περιέγραφε την περίφημη ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου, το έκανε σε όρους των μεταθέσεων των ριζών του δοθέντος πολυωνύμου. Είναι η βασικότερη έννοια της θεωρίας. Ο ορισμός που προέκυψε από τις εργασίες της Emmy Noether, των Dedekind και Emil Artin είναι ισοδύναμος, όμως το τίμημα μιας υψηλότερου βαθμού αφαίρεσης είναι η απαλλαγή μας από πολύπλοκους υπολογισμούς. Έτσι θα ορίσουμε την ομάδα Γκαλουά μέσω της ομάδας αυτομορφισμών ενός σώματος, πετυχαίνοντας το πλεονέκτημα ότι οι σχέσεις μεταξύ σωμάτων (δύο εσωτερικές πράξεις ) αντικαθίστανται (στο θεμελιώδες θεώρημα) από σχέσεις μεταξύ ομάδων (μία εσωτερική πράξη ), το οποίο είναι το κεντρικό σημείο της θεωρίας Γκαλουά.